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祝立萍[1],张振生[1],龚义书[2] ([1]安徽工业大学建筑工程学院 安徽马鞍山 243002)([2]安徽冶金科技职业学院 安徽马鞍山 243002) 摘 要：介绍了三类数据处理方法,并运用它们对翅片传热特性实验数据进行拟合分析。结果表明对同一类型翅片使用不同的处理方法,其计算速度和精度存在很大差别。得到了不同的翅片宜采用的处理方法。 关键词：板翅式换热器;插值法;多项式拟合;BP神经网络 中图分类号：TK172 文献标识码：A 文章编号：1672-9994(2010)04-0029-04 板翅式换热器作为高效换热器之一,随着对它进行优化设计研究的深入,建立计算快速且精度要求高的翅片表面特性数据库显得尤为必要。这方面的文献较少。文献[1],利用三次多项式对表面特性数据进行了拟合,并建立了翅片数据库。然而翅片类型不同,表面特性差别很大,使用统一模式对数据进行处理,精度很难满足要求。本文对比几种数据处理模型,进而建立了计算快精度又高的翅片表面特性数据库。 1 数据处理模型 1.1 插值法[2,3] 插值是离散数据函数逼近的重要方法,其原理是在离散数据的基础上补插连续函数,使得连续曲线通过全部给定的离散数据点,利用该函数估算其他点的近似值。实际问题中若给定函数y=f(x)是区间[a,b]上的一个列表函数(xi,yi)(i=0,1,…,n),如果a≤x0<x1…<xn≤b,并且f(x)在区间[a,b]是连续的,要求用一个相对简单的解析表达式P(x)在区间[a,b]上近似f(x),使P(xi)=yi(i= 0,1,…,n),称P(x)为f(x)的插值函数。根据P(x)的不同有多项式插值、分段多项式插值及有理分式插值。下面主要讨论常用的Lagrange插值和三次样条插值。 (1)Lagrange插值 假设通过(n+1)个点(xi,yi)(i=0,1,…,n)的插值多项式为Ln(x),使:Ln(xi) =fi, (i= 0,1,…n) (1)应用插值基函数方法可得: 满足(2)的多项式Ln(x)为Lagrange插值多项式,当n= 1,3时分别为线性插值和立方插值。 (2)三次样条插值(Spline插值) 假设通过n+1个点(xi,yi)(i= 0,1,…,n)的分段样条曲线方程y=S(x),满足: ①S(x)在区间[a,b]上2阶导数连续; ②S(x)在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,…,n)上是三次多项式; ③S(xi) =fi,i= 0,1,…,n。 则称S(x)为区间[a,b]上的三次样条插值函数。通过补充边界条件利用三弯矩方程求出S(x)。 1.2 非线性曲线拟合法—多项式最小二乘法 曲线拟合是选择适合的连续函数模型近似地刻画或比拟离散数据之间的关系,用拟合优度衡量拟合模型。在科学实验的统计方法研究中,往往要从2个变量x与y的若干组实验数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)中寻找自变量x与应变量y之间的函数关系y=f(x)。由于观测数据往往不准确,因此不要求y=f(x)经过所有点(xi,yi)(i= 0,1,…,n),只要求在给定点xi上误差δi=f(xi)-yi,(i= 0,1,…,n)按某种标准最小。若记δ= (δ0,δ1,…,δn)r就是要求向量δ的范数‖δ‖最小,采用欧氏范数‖δ‖2作为误差度量的标准。最小二乘法是指对给定的一组数据(xi,yi)(i= 0,1,…,n),要求在线性无关的函数类φ= {φ0,φ1,…,φn}中寻找一个函数y=S*(x),使误差平方和最小。 1.3 人工神经网络逼近[5,6] 人工神经网络(Artificial Neural Network—ANN)诞生于1943年,由Mc Culloch和Pitts提出形式神经元结构的数学模型(M-P模型),是在80年代中期迅速兴起的一门非线性学科。属国内外研究的前沿领域。其应用范围涉及模式识别、专家系统、自适应控制、决策优化、数据处理,函数拟合等诸多方面,在函数逼近方面主要应用BP网络及其改进形式。BP网络是前向网络的核心,它的一个重要定理:对于任何闭区间的连续函数,都可以用一个二层BP网络逼近。 BP学习算法有正向和反向两个学习过程组成,在正向传播过程中,样本信号经过Sigmoid函数变换,逐层向前传播,每个神经元的状态只影响下一层神经元网络,如果实际输出与期望输出之间有误差,就转入反向传播过程,将误差信号沿原来的连接权路返回,并修正各层神经元的权值,再经过正向传播过程。这两个过程反复进行,使误差信号最小或误差达到要求精度结束学习过程。 式(8)中η为一个正的步长。 因为ωij(k) =ωij(k-1)+Δωij(k),从式(8)可以看出,若权值ωij增加会使误差e增加,则应该减小ωij;反之,若权值ωij增加会使误差e减小,则应该增加ωij。所以利用这种方法可以使误差向减小的方向变化,直到Δe= 0为止。 2·实例分析与结果比较 本节以kays和LonDon所著书[7]中翅片特性实验数据为分析对象,选取平直翅片6.2的传热特性数据(Rei,ji) (1,2,…,13)为例,按上述数据处理模型进行拟合分析。为处理方便,先对Re和j取以e为底的对数变换,处理结果见表1。 首先对变换数据应用插值法和多项式拟合,结果见图1、图2。 在使用BP学习算法时,需要对数据进行归一化预处理: 对于BP网络逼近,需要一系列仿真数值实验,才能确定最佳逼近网络。设BP网络为net,显然输入层和输出层神经元各为1个,根据函数逼近经验,隐层神经元为4-16个,通过实验,确定最佳隐层神经元个数。隐层和输入层传递函数均为tansig,学习(训练)函数为traingdx,学习步数10000步,目标误差(均方误差)小于0.000001。BP网络经过学习确定隐层最佳神经元个数为8,逼近误差最小。结果见图3和图4。 插值函数必过插值点,所以式(10)定义的累计均方误差对插值法没有意义。从表2中可以看出多项式拟合随着阶数增加累计均方差并不是一直减小而是有个峰值,在图2中也可以看出阶数增加拟合曲线发生波动振荡。这是由于多项式(6)关于系数的法方程是病态方程[2],而且实验数据的不均匀性使拟合方程在区间内偏差相对较小而外推区间时随着拟合阶数提高往往是无法预测的,提高阶数计算也不方便,反之阶数较低拟合效果差。通过其他翅片拟合效果来看,在表面特性曲线变化比较平缓时使用多项式拟合很方便,一般三阶即可达到很高拟合精度,而像本节讨论的翅片类型,多项式拟合就不合适,需要使用其他方法。表2中BP网络逼近累计均方误差最小,从图4中也反映出在曲线变化比较剧烈的中间部分逼近效果也佳。上述三类方法取逼近效果相对较好的列于图5。 从图5可以看出,这几种方法都能够很好地逼近原数据点,然而在外推时却有很大差异。拟合曲线和BP网络逼近曲线在曲线两端均有波动,在中间,BP网络逼近曲线甚至出现很大振荡;而插值法能够很好描述曲线,尤其是三次样条插值。 3 结论 翅片表面特性实验数据是计算机设计优化板翅式换热器的基础数据,对它的处理需要选择合适的模型。经过本文的分析可以得出: (1)同一翅片表面特性实验数据应用不同的处理方法,其计算速度和精度有很大差别,需要选择最佳逼近方法。 (2)不同的翅片表面特性实验数据处理的方法不同:变化平缓的表面特性曲线一般使用3阶多项式拟合,不仅处理计算方便而且精度也能满足要求;而像平直表面6.2这样类型的表面特性使用多项式拟合,精度很难满足,而选择插值法能够很好的满足要求。 (3)人工神经网络作为近年来前沿研究领域,其解决问题的能力在某些方面相比传统方法更有效,但对于本文列举的表面曲线逼近,不仅计算时间长,而且在外推区间,逼近效果也不理想。参考文献[1] 张丽娜,杨春信,王安良.应用遗传算法优化设计板翅式换热器[J].航空动力学报,2004年,19(4):530-535[2] 李庆扬,王超,易大义等.数值分析[M].武汉:华中科技大学出版社,2006[3] WilliamH.Press等.C数值算法[M].傅祖芸等译.北京:电子工业出版社,2004[4] 施妙根,顾丽珍.科学和工程计算基础[M].北京:清华大学出版社,1999[5] 韩力群.人工神经网络教程[M].北京:北京邮电大学出版社,2006[6] 郭嗣琮.工程应用软计算[M].徐州:中国矿业大学出版社,2009[7] W.M.Keys,A.L.London.Compact Heat Exchangers[M].New York:McGrawHillBook Company,1980
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